Лидеры в главномНаше образование для надежного и успешного будущего


На главнуюКарта сайтаКонтакт
Дедуктивный метод в математике | Статьи | ННКИ

Дедуктивный метод в математике

22.11.2013

   Для получения своих результатов математика течение многих веков использовала особый метод - метод дедуктивных выводов из небольшого количества самоочевидных принципов, называемых аксиомами. Этот метод был известен еще древним грекам , а теперь с ним знаком каждый школьник. Как пишет сайт http://testmath.ru/, аксиоматический подход предполагает дедуктивный способ рассуждения : из истинных посылок ( аксиом ) с помощью определенных правил получают истинный вывод . Возникает цепочка последовательных истинных выводов , одни из которых являются аксиомами , а другие логически вытекают из предыдущих. Евклид впервые использовал аксиоматический подход в своих знаменитых «Началах» геометрии . Аристотель на основе дедуктивного метода построил формальную логику. Дедуктивный метод позволил математикам «изъять » из аксиом множество теорем о числах и фигуры.

   Аксиоматически - дедуктивный подход начал интенсивно разрабатываться в конце XIX в.  И сложился определенный стереотип : многим казалось , что в рамках аксиоматической системы любое истинное для нее утверждение явно доказательное . В 1931 г. совершенно неожиданно появилась знаменитая теорема Геделя о неполноте , которая нанесла сокрушительный удар по аксиоматическом подхода и надеждах математиков построить дедуктивную математику . В любой аксиоматической системе, включающей известную нам арифметику целых чисел , существуют истинные утверждения , не доказуемые в рамках данной системы . Есть логические следствия аксиом - это лишь подмножество всех истинных утверждений ( см. схему ) . Кроме того , возникает парадоксальная ситуация: процесс добавления конечного числа новых аксиом (то есть , новых знаний ) тоже делает систему полной. Позже специалисты признали результат Геделя сильнейшим за всю историю математики , хотя и он имеет явный негативный оттенок . Философы посвятили теореме Геделя многочисленные специальные монографии , поскольку она затрагивает вопросы познаваемости мира . По сути , идея дедуктивного подхода оказалась утопической : нельзя вывести все истинные утверждения на основе только истинных посылок. Поэтому сразу же многие усомнились в этом методе.

   Сомнения сводились сводились к следующему . Благодаря поразительному успеху геометрии Евклида как дедуктивной системы ученым стало казаться, что наука должна строиться по дедукцией от общих правил к конкретным примерам . Это неправильно , особенно если речь идет о процессе обучения . Наш мозг , видимо , хорошо справляется с воспроизведением целостного образа объекта при его отдельными элементами и с обобщением самых конкретных представлений . Построение же цепочки логических рассуждений - неестественный вид деятельности для человека. Известно , что человек не обладает способностями очень быстро считать , а также проводить логические построения . Зато она прекрасно решает задачи распознавания в пространстве и во времени , а самое главное - располагает совершенную программу самообучения . Причем в повседневной жизни мы в равной степени опираемся как на положительные, так и на негативные примеры . Скажем , в базу данных любой медицинской экспертной системы обязательно заложены сведения относительно больных и здоровых пациентов. И это понятно , поскольку на самом деле информация содержится не только в истинных , как это считалось ранее , но и в ложных утверждениях. Поэтому неудивительно , что все попытки математиков построить полную дедуктивную систему на основе только истинных утверждений оказались неудачными .